상대성 이론

 

 

 

 

 

 **1. 빛의 특이성: 질량과 에너지의 관계**

빛은 질량이 0인 광자로 구성되어 있으며, 일반적인 물질과는 근본적으로 다릅니다. 일반적인 물질의 운동 에너지 $ E $는 다음과 같이 표현됩니다.
$$
E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}
$$
여기서 $ m $은 질량, $ v $는 속도, $ p $는 운동량입니다. 그러나 광자의 경우, 질량 $ m = 0 $이므로 위 공식을 사용할 수 없습니다. 만약 분모에 0이 들어가는 것을 허용한다면 수학적 모순이 발생합니다. 예를 들어,
$$
2 \times 0 = 0
$$
양변에 0을 곱하면,
$$
2 \times 0 = 1 \times 0
$$
분모를 상세화하면,
$$
2 = 1
$$
이는 모든 숫자가 같아지는 모순을 초래합니다. 따라서 빛의 에너지는 다음과 같이 표현됩니다.
$$
E = pc
$$
여기서 $ p $는 운동량, $ c $는 광속입니다. 빛은 에너지를 나타내는 수학 공식부터 다른 물질과 근본적으로 다릅니다.

**2. 상대 속도와 아인슈타인의 기여**

상대 속도 공식을 통해 빛의 특이성을 다시 설명합니다. 고전적인 갈릴레이 상대 속도 공식은 다음과 같습니다.
$$
v' = v - u
$$
여기서 $ v' $는 관찰자가 보는 속도, $ v $는 실제 속도, $ u $는 관찰자의 속도입니다. 만약 아인슈타인이 광속 $ c $로 달린다면, 빛의 속도는 0으로 보여야 합니다. 그러나 실제 상대 속도 공식은 다음과 같습니다.
$$
v' = \frac{v - u}{1 - \frac{v}{c}}
$$
아인슈타인의 속도 $ u $가 광속 $ c $에 가까워질수록 분모가 0에 가까워져 수학적으로 금지된 상태가 됩니다. 이는 질량이 있는 물체가 광속으로 움직일 수 없음을 의미합니다.

### **3. 맥스웰 방정식에서 상대성 이론 도출**

맥스웰 방정식은 전자기 현상을 기술하는 네 개의 방정식으로 구성되어 있습니다. 이 방정식들은 빛의 속도가 관찰자의 운동 상태와 무관하게 일정하다는 것을 내포하고 있습니다. 맥스웰 방정식은 다음과 같습니다.

1.  가우스 법칙:
    $
    \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
    $
2.  자기장에 대한 가우스 법칙:
    $
    \nabla \cdot \mathbf{B} = 0
    $
3.  패러데이 법칙:
    $
    \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
    $
4.  앙페르-맥스웰 법칙:
    $
    \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
    $

여기서 $ \mathbf{E} $는 전기장, $ \mathbf{B} $는 자기장, $ \rho $는 전하 밀도, $ \mathbf{J} $는 전류 밀도, $ \epsilon_0 $는 자유 공간의 유전율, $ \mu_0 $는 자유 공간의 투자율입니다.

맥스웰 방정식에서 빛의 속도 $ c $는 다음과 같이 유도됩니다.
$
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}
$
이 식은 빛의 속도가 전자기 상수 $ \mu_0 $와 $ \epsilon_0 $에 의해 결정되며, 관찰자의 운동 상태에 의존하지 않는다는 것을 보여줍니다. 이는 갈릴레이 변환으로는 설명할 수 없는 현상이며, 로렌츠 변환을 통해 설명됩니다.

**4. 상대성 원리와 절대적인 정지 상태의 부재**

상대성 원리는 절대적인 정지 상태가 존재하지 않는다는 개념을 담고 있습니다. 민수와 아인슈타인이 서로 움직이는 것을 인지하지만, 텅 빈 우주 공간에서는 누가 정지해 있는지 판단할 기준이 없습니다. 어떤 실험으로도 자신의 절대적인 속도를 알 수 없다는 것이 상대성 원리의 핵심입니다.

**5. 갈릴레이의 한계와 빛의 속도 측정**

갈릴레이는 상대성 원리를 제안했지만, 빛의 속도가 유한하다는 사실을 알지 못했습니다. 레머는 목성의 위성 이오를 관측하여 빛의 속도가 유한하다는 것을 최초로 밝혀냈습니다. 이오가 목성의 그림자에 가려졌다가 다시 나타나는 시간을 관찰하여 빛의 속도가 유한하다는 것을 입증했습니다.

**6. 빛의 파동성과 입자성: 이중 슬릿 실험**

빛이 입자인지 파동인지를 명확히 구분하기 위해 이중 슬릿 실험을 소개합니다. 샤프심 두 개를 이용하여 만든 틈에 레이저를 통과시키면, 간섭무늬가 나타납니다. 이는 빛이 파동의 성질을 가지고 있음을 보여주는 강력한 증거입니다. 간섭무늬는 밝고 어두운 영역이 반복되는 패턴으로, 파동의 중첩에 의해 발생합니다.

**7. 에테르의 존재와 마이켈슨-몰리 실험**

19세기 과학자들은 빛이 전파되기 위해서는 에테르라는 매질이 필요하다고 믿었습니다. 마이켈슨과 몰리는 간섭계를 이용하여 에테르의 존재를 확인하려는 실험을 수행했지만, 에테르의 바람을 측정하는 데 실패했습니다. 이 실험 결과는 상대성 원리에 대한 지지를 강화했습니다.

**8. 아인슈타인의 혁신: 상대성 원리 부활과 빛의 입자성**

아인슈타인은 에테르가 존재하지 않으며, 상대성 원리가 근본적인 물리 법칙이라고 주장했습니다. 그는 시간과 공간 개념을 수정하여 뉴턴 역학과 맥스웰의 전자기 법칙이 상대성 원리를 만족시키도록 했습니다. 또한, 아인슈타인은 흑체 복사 현상을 설명하기 위해 빛의 입자성을 부활시켰습니다. 흑체 복사는 다음과 같은 스펙트럼을 가집니다.
$$
B(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}
$$
여기서 $ B $는 복사 강도, $ \nu $는 주파수, $ T $는 온도, $ h $는 플랑크 상수, $ k $는 볼츠만 상수입니다.